Guten Morgen.

Wir sind ja jetzt in dem Kapitel über den Weierstraß-Aproximationssatz.

Sie erinnern sich, die rationalen Zahlen sind ja dicht in den reellen Zahlen.

Jetzt haben wir Sätze von der Art die trigonometrischen Polynome.

Sie sind dicht in der Menge der stetigen Funktionen unter der gleichmäßigen Konvergenz,

wenn die auch noch periodisch sind.

Das waren die Weierstrass-Approximationssätze.

Wir sind jetzt erstmal in dem periodischen Fall.

Hier haben wir eine Funktion aus R, die stetig ist, also eine stetige 2-Pi-periodische Funktion.

Ich schreibe den Satz nochmal auf.

Die Voraussetzung ist also hier die Stetigkeit.

F Element R sei stetig.

Und dann finden wir eine Folge trigonometrischer Polynome, die gleichmäßig gegen diese Funktion konvergiert.

Dann existiert eine Folge trigonometrischer Polynome Pn,

also mit Sinus K x, Krosinus K x einer Konstanten.

Und was heißt die gleichmäßige Konvergenz?

Die gleichmäßige Konvergenz ist die Konvergenz bezüglich der Maximumnorm.

Also wir können schreiben, der Liemes für n gegen unendlich vom Maximum über alle x.

Hier können wir das Intervall von 0 bis 2 Pi nehmen, weil die Funktion ja periodisch ist.

Das reicht aus, das wiederholt sich sonst sowieso immer nur.

Und dann ist der Betrag von f von x minus Pn von x zu nehmen.

Und davon das Maximum konvergiert dann gegen 0 für n gegen unendlich.

Und das ist nur eine andere Art zu sagen, dass die Pns gleichmäßig gegen f konvergieren.

Das heißt diese Folge Pn konvergiert gegen f gleichmäßig.

Den Satz hatten wir ja auch in der letzten Vorlesung schon hingeschrieben.

Und den kann man natürlich auch in einer Epsilon-Formulierung hinschreiben.

Also für beliebig kleine Epsilon größer 0 findet man ein trigonometrisches Polynom,

sodass der Betrag der Differenz überall kleiner gleich Epsilon ist.

Und da hatten wir den Beweis eher geometrisch schon angedeutet, aber jetzt nochmal ganz formal.

Wichtig ist hier, das Intervall von 0 bis 2 Pi ist ja abgeschlossen.

Und auf diesem Intervall können wir arbeiten.

Und wenn eine Funktion auf seinem abgeschlossenen Intervall stetig ist,

dann ist sie auch gleichmäßig stetig.

Und das können wir hier gut brauchen.

Also, schauen wir nochmal hin, was das heißt.

Der Stetigkeit folgt f ist gleichmäßig stetig.

Das heißt, das Delta von Epsilon funktioniert gleichmäßig unabhängig von x.

Für alle Epsilon größer 0 existiert ein Delta Epsilon größer 0,

sodass für alle x,y mit der Eigenschaft Betrag x minus y kleiner Delta Epsilon gilt,

Betrag f von x minus f von y kleiner als Epsilon viertel.

Die viertel brauchen wir, damit es am Ende richtig hinkommt, das kennen Sie ja schon.

Und wir wählen jetzt eine Zerlegung des Intervalls von 0 bis 2 Pi so,

dass die Gitterpunkte alle einen Abstand kleiner als Delta Epsilon haben.

Epsilon größer 0 eine Zerlegung vom Intervall von 0 bis 2 Pi mit Betrag von x,y plus 1

minus x,y kleiner Delta Epsilon.

Für alle j Element bis n minus 1, da ist wieder wie üblich,

x 0 gleich 0 kleiner x 1 kleiner x 2 kleiner x n und das x n ist hier 2 Pi.

Dann gilt nämlich für die Funktionswerte an diesen Gitterpunkten,

dass der Abstand kleiner ist als Epsilon viertel.

Für aufeinander folgende Gitterpunkte, wir schreiben auf,